1. ВВЕДЕНИЕ. ФЕНОМЕН ЭФФЕКТИВНОСТИ МАТЕМАТИКИ В ПРОЦЕССЕ ПОЗНАНИЯ

В удивительной непостижи­мой эффективности матема­тики в естественных и даже гу­манитарных науках в наше время сомневаться уже не приходится.

 

Однако дать одно­значный ответ на вопрос о при­чинах этого феномена очень непросто, почти невозможно. Для этого недостаточно общих философских утверждений о том, что существуют объектив­ная реальность, а также отражающее ее человеческое со­знание (1), об относительной и абсолютной истинах и т. д. Практика современного науч­ного познания ставит перед ис­следователями комплексные задачи междисциплинарного характера (2). К числу тако­вых относятся, например, зада­чи глобального моделирования экологических систем с помо­щью ЭВМ. В рамках этих ис­следований вопрос об эффек­тивности математики приоб­ретает особую остроту, по­скольку здесь эта наука выс­тупает в качестве объединяю­щего начала научной деятель­ности ученых, представителей разных дисциплин. Поэтому математика как метод позна­ния с этой точки зрения имеет огромное практическое зна­чение.

Однако назвать математи­ку только методом познания, пусть даже имеющего особую эффективность (3), это значит, ничего не сказать о ее приро­де. Ведь математика — это не просто созданное человече­ством мощное орудие позна­ния, это средство, которое по­зволяет нам осуществлять на­дежный контакт с внешней объективной реальностью, расширяющее пределы наших органов чувств.

Наконец, прослеживая ис­торию становления и развития математической мысли, необ­ходимо отметить то важней­шее мировоззренческое со­держание, которое несет в себе эта наука. Веками мате­матика помогает человечеству формировать его взгляд на ок­ружающую действительность, является методом постижения истины. Более того, математи­ка — это само мировоззрение, это человеческая Культура, прошедшая долгий путь разви­тия от древних цивилизаций до наших времен (4).

После такой характеристи­ки, данной математике как на­уке, нет сомнений в ее особой важности в сфере образова­ния. В данной работе излага­ется авторский подход к уро­кам математики в седьмом классе. Суть этого подхода состоит в том, чтобы для каж­дого урока смоделировать процесс постижения истины, т. е. на конкретных примерах показывается, каким образом весь длительный процесс по­иска верных ответов на по­ставленные вопросы можно заключить в рамки урока.

2. ФОРМИРОВАНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ.

Главная особенность учеб­ной программы по курсу ал­гебры состоит в том, что в ее содержание включено одно из основных математических по­нятий — функция. Подход к этому понятию требует от се­миклассников хорошо разви­того умения обобщения, ана­лиза и абстрагирования. По­этому, перед тем как переходить к функции, необходимо дать учащимся возможность проверить свои способности в этом направлении. Я сделала это на примере введения по­нятия множества. Это понятие для них не являлось совершен­но новым, поэтому существен­ных трудностей при углублен­ном рассмотрении множеств, их свойств и введении опера­ций над ними я не испытала. После того как мы разделили соответствия между множе­ствами на два типа — функ­циональные и нефункциональ­ные, — учащиеся сами стали приводить примеры функциональных соответствий из окру­жающего мира. Наконец, при­писав некоторым множествам числовую природу, мы устано­вили между ними функцио­нальное соответствие, ввели понятие числовой функции и рассмотрели все способы их задания. Известно, что такие математические понятия, как асимптотическое стремление функции, предельный переход, непрерывность, являются труднодоступными для понимания не только в седьмом, но и в более старших классах. Одна­ко любое сложное понятие можно достаточно просто довести до ребенка даже седь­мого класса при условии, что сам преподаватель очень глубо­ко проник в его суть. Приведу примеры. Понятие непрерыв­ности наглядно демонстриру­ется графически, когда мы изображаем линию на координатной плоскости, не отрывая карандаша от бумаги. Объяс­нение асимптотического стремления графика функции к некоторой прямой целесообразно начать с аналитического рассмотрения дроби 1/х, когда х возрастает по мо­дулю. Учащиеся сразу заме­чают закономерное уменьше­ние значений дроби. При этом нужно подчеркнуть, что дробь никогда не обратиться в нуль, поскольку ее числитель отли­чен от нуля. При переходе от аналитического к графическо­му способу задания функции учащиеся убеждаются в том, что линия, представляющая гра­фик, никогда не достигнет го­ризонтальной оси координат. Остается только назвать такую ситуацию асимптотическим стремлением функции к нулю.

Отмечу, что первоначально у меня не было намерения вво­дить семиклассникам понятие асимптоты. Однако когда я приводила им различные виды графиков, в том числе и гра­фик функции у = а/(Ьх* + с), они задали вопрос, пересечет ли когда-нибудь данная кривая ось абсцисс и почему не пересечет. Пользуясь возникшим интересом, я не только ввела понятие асимптоты, но и пошла еще дальше. В результате мы вместе пришли к такому сложному понятию, как беско­нечность.

На основе этих фактов, как мне кажется, можно сделать следующие выводы: во-пер­вых, учащиеся седьмого клас­са воспринимают отдельные сложные понятия лучше стар­шеклассников, и, во-вторых, эти понятия им нужно вводить.

 

3. ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВА НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ.

Как раздел математики геометрия занимает особое положение, поскольку нахо­дится ближе всех к явлениям окружающего мира. Изуче­ние этой науки в седьмом классе начинается впервые, поэтому очень важно помнить о том огромном мировоззрен­ческом значении, о той важней­шей роли, которую она играет в формировании мышления.

Мой подход к изложению гео­метрии имеет философский оттенок. Поясню смысл этого высказывания. Я не даю истин в последней инстанции в виде готовых определений, аксиом и теорем, а прошу учащихся самих выработать нужные оп­ределения, а затем самостоя­тельно построить систему первоначальных аксиом и теорем.

На первых уроках геомет­рии необходимо пробудить творческое воображение де­тей. С этой целью в качестве первой темы я дала не основ­ные геометрические понятия, а представление о форме и строении окружающих тел, составляющих пространство. Начинать нужно не с плоско­сти, а с пространственного представления, что является наиболее естественным, по­скольку соответствует зри­тельному восприятию челове­ка. В содержание начальной темы в моем изложении вхо­дит такой факт, как искривле­ние линий и поверхностей вблизи массивных тел. Это ис­кривление я продемонстриро­вала на простынях и доступных моделях в виде листа бу­маги и глобуса. С самого на­чала мы выработали понятие о пространстве не просто как о вместилище предметов, а как о непрерывно изменяю­щемся сложном объекте, име­ющем различные свойства в разных точках. При этом я вве­ла «кривизну» — форму про­странства — как форму тел, составляющих ее.

Конечно, при объяснении были определенные сложно­сти. Однако все изложенное глубоко вошло в сознание де­тей. Подтверждением этого стала проведенная позже гео­метрическая игра, на которой учащиеся вернулись к вопро­су об искривлении поверхно­сти с совершенно неожидан­ной стороны.

Одна из особенностей из­ложения моей программы геометрии состоит в разделе­нии фигур на две группы: фи­гуры, которые уже имеются в пространстве, и мы их просто из него извлекаем; фигуры, которых еще нет, но которые мы можем построить. Поэто­му свойства этих фигур могут оказаться неодинаковыми, по­скольку зависят от свойств про­странства.

Другая особенность заклю­чается в различии статики и ди­намики в геометрии. В прин­ципе, это связано с первой осо­бенностью. Поскольку, когда мы проводим вновь линию или строим фигуру, мы соверша­ем движение — это динамика. Когда же фигуры просто из­влекаются из пространства, движение отсутствует — и это статичное состояние.

Излагаемый здесь подход полностью оправдал себя при Изучении такой сложной темы, как аксиома параллельности Евклида. На поставленный мною вопрос о том, сколько прямых, параллельных данной, можно провести через внешнюю точку, класс дал три типа ответов. Первый относит­ся к традиционным — такая прямая единственна. Однако таких ответов было всего 15%. Остальные два типа ответов сводились к следующим:

 

1) бесконечное множе­ство прямых;

2) мы не знаем, сколько здесь прямых. 

Наконец, один из учащихся с нестандартным стилем мыш­ления ответил так: через вне­шнюю точку проходит не ме­нее одной прямой, параллель­ной данной, в зависимости от условий, созданных в простран­стве. Свои ответы учащиеся сопровождали объяснениями. Суть всех объяснений сводилась примерно к одному: если вблизи заданной прямой рас­положить некоторые тела, то все прямые линии, проведен­ные через внешнюю точку, будут искривляться вследствие наличия этих тел и никогда не пересекут заданную прямую.

Подводя итог полученным результатам эксперимента (это был именно эксперимент), следует отметить, что заложен­ный фундамент мировоззрения позволил детям самостоятель­но решить сложный вопрос. Более того, в их сознание, не скованное догмами, прочно вошло понимание того, что ни на один вопрос нет готовых от­ветов, их нужно добывать са­мим, путем наблюдения, размышления, анализа.

После аксиомы параллель­ности идея многообразия (на­пример, геометрия Лобачевс­кого и Римана) воспринимает­ся учащимися без особых трудностей. Этому восприя­тию прекрасно помогает на­глядная демонстрация на гло­бусе криволинейных треуголь­ников с суммой углов, мень­шей и большей 180°.

Проверка знаний, помимо традиционных способов, вклю­чает в себя творческие задания различных видов, а также кол­лективную форму опроса — коллоквиум, когда каждый из учащихся получает индивидуальный вопрос. Кроме того, в своей практике я использую еще одну форму проверки знаний — научно-познаватель­ную геометрическую игру. Суть ее состоит в следующем. Весь класс делится на две ко­манды, примерно одинаковые по силам, в каждой дети сами выбирают капитанов. Я даю за­дание учащимся подготовить вопросы соседней команде. На подготовку выделяется не­деля, в течение которой учащиеся могут консультироваться со мной. Игра проводится в фор­ме перекрестных вопросов членов команд друг другу, до­пускаются обсуждения внутри команд, дополнительные воп­росы и ответы. Руководство ходом игры осуществляется ка­питанами и преподавателем. Отдельно проводятся конкурс капитанов и конкурс рисунков. В процессе игры учащиеся могут сами организовать споры и диспуты. Оценка ведется по баллам, заработанным каждым членом команды.

 

Несомненно, предлагае­мый подход к изложению на­уки математики не претендует на абсолютную истину. Тем не менее, в рамках этого под­хода одновременно решается несколько задач разного ха­рактера. Во-первых, учащиеся с самого начала приходят к мысли о многообразии геометрии. Это научная математическая, содержательная сторона проблемы обучения. Во-вторых, вырабатывается соб­ственное понятие о простран­стве как о непрерывно изме­няющемся объекте. Это ми­ровоззренческая функция процесса обучения. В-третьих, учащиеся с седьмого класса привыкают к мысли, что ника­кие знания не даются в гото­вом виде, их нужно добывать путем очень нелегкого интеллектуального труда, и это — методологическая сторона процесса познания.

Главное достоинство тако­го метода обучения в том, что он позволяет учащимся понять, как из кажущейся простоты возникает сложная структура окружающего мира. Однако при этом сохраняется внутрен­не присущая природе некая скрытая гармония, которая от­ражается в наших умах в виде простых математических законов. Именно в силу этой гармонии наблюдение в сочета­нии с математическим анали­зом позволяет предсказывать явления природы.

В заключение хотелось бы подчеркнуть еще раз, что проблема математического образования в наше время стоит особенно остро. Подход к обучению не должен быть ав­торитарным и догматически ограниченным. Поскольку обучение математике — это не просто обучение приемам вычислений, навыкам решения уравнений и построения геометрических чертежей. Мате­матика призвана научить человека мыслить творчески, непредвзято, нестандартно. Она должна помочь человеку ло­гически непротиворечиво устроить свою жизнь, потому что сама является логикой человеческого общества и процесса познания окружающего мира.